**الخطوة 1: حساب الارتفاع (Alt)**
نستخدم المعادلة: sin(Alt) = sin(Dec) × sin(Lat) + cos(Dec) × cos(Lat) × cos(HA)
نعوض بالقيم:
sin(Alt) = sin(19.2°) × sin(30°) + cos(19.2°) × cos(30°) × cos(45°)
نحسب الدوال المثلثية:
sin(19.2°) ≈ 0.3289, sin(30°) = 0.5, cos(19.2°) ≈ 0.9444, cos(30°) ≈ 0.8660, cos(45°) ≈ 0.7071
إذن:
sin(Alt) = (0.3289 × 0.5) + (0.9444 × 0.8660 × 0.7071) = 0.16445 + 0.5779 = 0.74235
بالتالي Alt = arcsin(0.74235) ≈ 47.96°
الارتفاع حوالي 48° فوق الأفق.
**الخطوة 2: حساب السمت (Az)**
نستخدم المعادلة: cos(A) = [sin(Dec) - sin(Lat) × sin(Alt)] / [cos(Lat) × cos(Alt)]
نعوض:
sin(Alt) = 0.74235, cos(Alt) = cos(47.96°) ≈ 0.6699
cos(A) = [0.3289 - (0.5 × 0.74235)] / (0.8660 × 0.6699) = (0.3289 - 0.371175) / 0.5803 = (-0.042275) / 0.5803 ≈ -0.07285
إذن A = arccos(-0.07285) ≈ 94.18°
بما أن HA ≠ 0، نحدد الاتجاه: HA = 45° (موجب، في الغرب) لذا السمت بين 180° و360°، لكن 94.18° تقع في الربع الأول (0-90)، لذلك نحتاج إلى تصحيح. في الواقع، معادلة cos(A) تعطي فقط الزاوية نفسها، لكن الاتجاه الصحيح يتطلب فحص إشارة sin(HA). هنا sin(HA) > 0 (موجب)، لذا السمت هو 360° - A = 360° - 94.18° = 265.82° (غرب شمال). أو باستخدام صيغة atan2: Az = atan2(sin(HA), cos(HA)×sin(Lat) - tan(Dec)×cos(Lat)) = atan2(0.7071, -0.7071×0.5 - 0.3492×0.8660) = atan2(0.7071, -0.3536 - 0.3025) = atan2(0.7071, -0.6561) ≈ 132.7° (من الشمال)؟ ولكن هذا يعطي زاوية في الربع الثاني، لذا يجب توخي الحذر. الحساب الصحيح باستخدام atan2: Az = atan2(sin(HA), cos(HA) sin(Lat) - tan(Dec) cos(Lat)) = atan2(0.7071, 0.7071×0.5 - 0.3492×0.8660؟ خطأ: cos(HA) × sin(Lat) = 0.7071×0.5=0.3536، tan(Dec)=tan(19.2°)=0.3492، cos(Lat)=0.8660، لذا tan(Dec)cos(Lat)=0.3492×0.8660=0.3025، وبالتالي المقام = 0.3536 - 0.3025 = 0.0511، وبسط = 0.7071، Az = atan2(0.7071, 0.0511) ≈ 85.87° (من الشمال؟). هذا يتوافق مع A ≈ 94.18° مكملاً لـ360°؟ في الواقع إذا كانت الزاوية من الشمال بعكس عقارب الساعة، فإن 85.87° تعني شرق شمال. لكن التعريف المتعارف عليه في علم الفلك: السمت يُقاس من الشمال باتجاه عقارب الساعة، لذا 85.87° تكون شرق شمال. بينما الحساب الأول أعطانا 94.18° من الشمال بعكس عقارب الساعة؟ الخلط شائع. الأفضل استخدام الصيغة: Az = atan2(-sin(HA) cos(Dec), sin(Dec) - sin(Lat) sin(Alt))؟ دعوني أتحقق من النسخة الصحيحة. الصيغة القياسية لتحويل الاستوائي إلى أفقي:
A = atan2(sin(HA) cos(Dec), cos(HA) cos(Dec) sin(Lat) - sin(Dec) cos(Lat))
أو
A = atan2(sin(HA), cos(HA) sin(Lat) - tan(Dec) cos(Lat)) كما استخدمنا (إذا تم ضرب البسط والمقام في cos(Dec)).
الآن: sin(HA)=0.7071, cos(HA)=0.7071, sin(Lat)=0.5, cos(Lat)=0.8660, tan(Dec)=0.3492
المقام: cos(HA) sin(Lat) - tan(Dec) cos(Lat) = 0.7071*0.5 - 0.3492*0.8660 = 0.35355 - 0.3025 = 0.05105
البسط: sin(HA)=0.7071
Az = atan2(0.7071, 0.05105) = 85.87°
هذه الزاوية محسوبة من الشمال باتجاه عكس عقارب الساعة (نظام الرياضيات). في علم الفلك، يُقاس السمت من الشمال باتجاه عقارب الساعة، أي أن 85.87° في النظام الرياضي تعادل 360° - 85.87° = 274.13° (أو -85.87° إذا قيست بالاتجاه المعاكس). لكن المعادلة عادة ما تعطي قيمة بين 0 و360 حيث 0 شمال، 90 شرق، 180 جنوب، 270 غرب. لذا نحتاج إلى تحويل: إذا كانت البسط >0 والمقام >0، تكون الزاوية في الربع الأول (0-90) في النظام الرياضي، مما يعطي سمتًا بين 90 و180 في النظام الفلكي؟ ليس بالضرورة. دعنا نتبع خطوات واضحة:
أولاً، احسب A0 = atan2(sin(HA), cos(HA) sin(Lat) - tan(Dec) cos(Lat)) = 85.87° (بالنظام الرياضي).
ثم للحصول على السمت الفلكي (Az_f):
- إذا كان A0 بين 0 و 90، Az_f = 360 - A0 (لأن الشمال في الرياضيات هو +y، بينما في الفلك الشمال 0° ويزداد باتجاه عقارب الساعة).
- إذا كان A0 بين 90 و180، Az_f = 180 - A0؟
في الحقيقة التحويل بسيط: Az_f = 90° - A0 (إذا كان الاتجاه مختلفًا). أنا أفضل استخدام المعادلة المباشرة:
Az = atan2(-sin(HA) cos(Dec), sin(Dec) - sin(Lat) sin(Alt))
لنحسب: cos(Dec)=0.9444, sin(Alt)=0.74235, sin(Dec)=0.3289, sin(Lat)=0.5
البسط: -sin(HA) cos(Dec) = -0.7071 * 0.9444 = -0.6675
المقام: sin(Dec) - sin(Lat) sin(Alt) = 0.3289 - 0.5*0.74235 = 0.3289 - 0.371175 = -0.042275
Az = atan2(-0.6675, -0.042275) = atan2(-0.6675, -0.042275)
كلا البسط والمقام سالبين، لذا الزاوية في الربع الثالث (بين 180 و270) في النظام الرياضي. atan2(-0.6675, -0.042275) = - (180 - atan(0.6675/0.042275))؟ احسب: tan(θ) = 0.6675/0.042275 = 15.79، arctan(15.79)=86.37°، ثم الزاوية = -180 + 86.37 = -93.63°، أي ما يعادل 266.37° (بإضافة 360). هذا يتوافق مع سمت 266.37° (غرب جنوب؟ في الواقع 266° يعني غرب جنوب بزاوية صغيرة نحو الجنوب). لكن هذا يبدو غير بديهي لأن الجسم في الغرب (HA=45°) يجب أن يكون السمت بين 180 و360. لذا 266° معقول. لكن الحساب الأول أعطانا 85.87° ثم حولناه إلى 274.13°؟ يوجد اختلاف. لنعتمد على الصيغة الموثوقة:
Az = atan2(sin(HA), cos(HA) sin(Lat) - tan(Dec) cos(Lat)) ثم نحول الناتج من النظام الرياضي إلى الفلكي:
- إذا كان atan2 موجبًا، Az_f = 360 - atan2 (إذا كانت الزاوية المحسوبة < 0؟)
في مثالنا atan2=85.87° (موجب)، Az_f = 360 - 85.87 = 274.13°.
إذاً السمت 274.13° (غرب شمال؟ في الواقع 274° يعني غرب بزاوية 4° جنوب؟ لاحظ أن 270° غرب، لذا 274° يعني 4° شمال الغرب؟ لا، السمت يزيد باتجاه عقارب الساعة من الشمال: 0 شمال، 90 شرق، 180 جنوب، 270 غرب، 360 شمال. لذا 274° هي 4° شمال الغرب (لأن 270+4). بينما 266° هي 4° جنوب الغرب. أيهما أصح؟ لنحسب بالمنطق: الجسم في الغرب (HA موجبة) وفي نصف الكرة الشمالي وله ميل موجب (19.2°) أي شمال خط الاستواء، لذا سيكون في الشمال الغربي نسبيًا. لذا 274° (أقرب للشمال من الغرب) يبدو صحيحًا. لكن 266° أقرب للجنوب. لذلك نختار 274.13°.
إذن النتيجة النهائية: Alt ≈ 48°, Az ≈ 274°.
**الخطوة 3: التحقق من المعقولية**
في القاهرة (30° شمالاً) عند زاوية ساعة 45° (أي بعد 3 ساعات من عبور خط الطول)، السماك الرامح سيكون في الغرب تقريبًا بارتفاع معتدل. الارتفاع 48° معقول، والسمت 274° يعني غرب شمال قليلاً، وهذا منطقي.
إذن الإجابة: الارتفاع = 47.96°، السمت = 274.13° (أو 94.18° إذا قيس من الشمال بعكس عقارب الساعة، لكننا نتبع النظام الفلكي القياسي).